[Paper] 平衡投入与性能的最佳学习率调度

发布: 1周前 (2026年1月13日 GMT+8 02:59)

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原文: arXiv

Source: arXiv - 2601.07830v1

概述

本文提出了一种数学上有依据的方法来设定代理（生物或人工）的学习率调度，以在最大化整体性能的同时控制“学习成本”（努力、不稳定、计算）。通过将学习率控制框架化为最优控制问题，作者推导出一个简单的闭式形式规则，该规则可以实现为反馈控制器，并且在广泛的任务和模型架构中均有效。

Normative optimal‑control formulation of learning‑rate scheduling that balances cumulative performance against a cost term for learning effort.
Closed‑form optimal learning‑rate rule that depends only on the current performance and a forecast of future performance, yielding a practical “controller” that can be plugged into existing training loops.
Analytical insights for simple learning dynamics showing how task difficulty, noise, and model capacity shape the optimal schedule (open‑loop solution).
Link to self‑regulated learning theory: the framework predicts how over‑ or under‑confidence about future success changes an agent’s willingness to keep learning.
Biologically plausible approximation using episodic memory: recalling past similar learning episodes provides the needed performance expectations without full Bayesian planning.
Empirical validation: the derived schedule reproduces numerically optimized learning‑rate curves in deep‑network simulations and matches human‑like engagement patterns in toy tasks.

Problem set‑up – 作者定义了一个目标函数，该函数在时间上积分性能，并减去与学习率大小成比例的惩罚（即“effort cost”）。
Optimal‑control derivation – 使用变分法和 Hamilton‑Jacobi‑Bellman 方程，他们求解使目标最大化的学习率策略。解为一个反馈控制器：

[ \eta_t^* = f\big( \underbrace{R_t}{\text{current performance}},; \underbrace{\mathbb{E}[R{t+1:T}] }_{\text{expected future performance}} \big) ]

其中 (R_t) 是性能度量（例如，loss reduction），期望值可以从过去的轨迹中估计。
Simplified analytic cases – 对于线性‑Gaussian 学习动力学，他们得到显式的 open‑loop 调度，展示噪声方差或任务曲率等参数如何影响最优衰减。
Memory‑based approximation – 他们提出一个轻量级的 episodic memory 缓冲区，用于存储最近的性能轨迹；最近邻查找提供控制器所需的未来性能估计。
Simulation experiments – 该规则在合成回归任务以及标准深度学习基准（如 MNIST、CIFAR‑10）上进行测试，并与手动调优和自动搜索的学习率调度进行比较。

闭式控制器 在性能上匹配或超过网格搜索学习率调度，同时使用的超参数试验数量要少得多。
在深度网络实验中，当性能出现平台期时，控制器会自动衰减学习率，而在出现突发提升后重新加速，这模仿了常见的手动启发式方法（阶梯衰减、余弦退火），但具有原理性的依据。
置信度效应：模拟的过度估计未来性能的代理会更长时间保持较高学习率（导致不稳定的风险），而缺乏信心的代理则会过早降低学习率，导致收敛变慢。
情节记忆近似实现了近乎最优的性能且几乎没有额外开销，表明在设备端或持续学习场景中具有可行的实现方式。
在各种任务中，最优调度具有泛化性：相同的控制器参数既适用于小规模线性模型，也适用于大型卷积网络，证实了在温和假设下任务无关适用性的理论主张。