[Paper] 学习在神经形状表示上求解 PDE

Source: arXiv - 2512.21311v1

概述

论文介绍了一种 mesh‑free neural solver，它可以直接处理现代神经形状表示（例如 signed distance fields、occupancy networks、neural radiance fields）上的 surface partial differential equations (PDEs)。通过学习一个条件于神经几何本身的局部更新算子，该方法消除了在求解 PDE 之前提取多边形网格的需求，为图形、仿真和工程任务打开了真正端到端的管线。

关键贡献

• 神经域 PDE 操作符：一种学习得到的、保持局部性的更新规则，可直接作用于表面的隐式神经描述，无需任何中间网格化步骤。
• 一次性训练，广泛泛化：该操作符只在单个代表性形状上训练一次，即可迁移到几何形状和拓扑结构不同的未见形状。
• 可微分流水线：求解器保持完全可微，使得下游任务（如形状设计、逆问题）能够基于梯度进行优化。
• 竞争性的精度与速度：在热方程和泊松问题上的基准测试显示，其性能与经典 FEM 相当，并略优于近期的 CPM 方法，同时推理速度快几个数量级。
• 统一框架：同时适用于神经表面（SDF、占据率、NeRF 派生网格）和传统三角网格，提供了首个桥接两者的端到端解决方案。

方法论

1. 局部神经特征提取 – 对于表面上的任意查询点，方法对底层神经场进行采样（例如，评估 SDF 及其梯度），以获得捕捉局部几何的低维描述符。
2. 条件更新算子 – 一个轻量级神经网络（通常是带残差连接的 MLP）接受局部描述符和当前 PDE 场值，并预测校正项。这模仿经典迭代求解器（如 Jacobi 或 Gauss‑Seidel）的单次迭代，但从数据中学习得到。
3. 迭代细化 – 从初始猜测（通常为零）开始，重复应用该算子直至满足收敛准则。由于算子是学习得到的，收敛通常比手工设计的方案需要更少的迭代次数。
4. 训练方案 – 网络使用从高质量 FEM 求解器在单个训练形状上获得的真实解进行监督。损失函数同时约束预测场的点wise 精度和光滑性。
5. 泛化机制 – 由于算子仅依赖局部几何描述符，它能够自然地适应新形状，甚至拓扑变化（例如添加孔洞），而无需重新训练。

结果与发现

• 学习到的算子始终与 CPM 相匹配或略有超越，同时保持在 FEM 精度的几百分点内。
• 推理速度比在相同硬件上运行完整 FEM 求解快 5–6 倍，比 CPM 快约 2 倍。
• 定性可视化展示了在复杂神经形状（例如神经生成的椅子）上的平滑温度/压力场，且没有任何来自网格提取的可见伪影。

实际意义

• 端到端可微分仿真：工程师现在可以将热扩散、电静势或流体表面压力直接嵌入基于神经网络的设计循环，实现基于梯度的形状优化，而无需昂贵的重新网格化。
• AR/VR 资产的快速原型：使用神经隐式模型的内容创作者可以即时评估资产上的物理效应（例如光照扩散、声音传播），加快迭代周期。
• 降低内存和预处理开销：对于因数十亿三角形而难以网格化的大规模场景，可直接在神经域中处理，节省存储和预处理时间。
• 跨表示管线：混合传统网格和神经资产的工作室现在可以在整个场景中使用单一的 PDE 求解器，简化全局光照或基于热的变形等效果的管线。
• 在设备上推理的潜力：轻量级 MLP 运算符可在 GPU 甚至移动 NPU 上运行，使实时 PDE 驱动的效果在交互式应用中成为可能。

限制与未来工作

• 训练形状偏差：虽然算子具有良好的泛化能力，但极端的几何变化（例如，训练形状中未出现的高度各向异特征）可能会降低精度。
• 边界条件处理：当前的表述侧重于易于局部编码的 Dirichlet/Neumann 条件；更复杂的混合或时变边界需要额外的机制。
• 对体积 PDE 的可扩展性：该方法针对表面 PDE 进行优化；将其扩展到完整的三维体积域（例如固体力学）仍是一个未解决的挑战。
• 理论收敛保证：作为一种学习型迭代方案，缺乏正式的收敛速率证明；未来工作可以将经典数值分析与基于学习的更新相结合，以获得更强的保证。

总体而言，这项工作弥合了神经隐式几何的快速发展与长期需求的 PDE 分析之间的关键鸿沟，提供了一种实用、快速且可微分的工具，开发者可以立即将其用于构建下一代图形和仿真系统。

作者

• Lilian Welschinger
• Yilin Liu
• Zican Wang
• Niloy Mitra

论文信息

• arXiv ID: 2512.21311v1
• 分类: cs.LG
• 出版日期: 2025年12月24日
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