[Paper] 学习费米子基态的最小表征

发布: 1个月前 (2025年12月13日 GMT+8 02:26)

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原文: arXiv

Source: arXiv - 2512.11767v1

概览

一种新的无监督机器学习框架使研究人员能够自动将相互作用费米子系统的波函数压缩到最小的潜在表示。通过在费米‑哈伯德模型的精确基态数据上训练自编码器，作者发现了一个潜在空间，其维度恰好等于物理自由度的数量，并展示了解码器如何作为可微分的变分 ansatz 用于能量最小化，而始终停留在有效量子态空间内。

最小潜在空间发现： 证明自编码器在 (L-1) 维潜在空间上学习到一个明确的重构阈值，对应于 (L) 站点 Hubbard 链的固有独立参数数目。
可微分解码器作为变分 ansatz： 使用训练好的解码器将潜在向量直接映射到多体波函数，实现潜在空间中的梯度能量优化。
对 (N)-可表征性问题的隐式解： 解码器学习的流形自动强制物理约束（费米子反对称性、归一化、粒子数），无需在变分优化过程中显式加入约束。
无监督流水线： 不需要标记数据或手工特征；自编码器仅从原始基态波函数中学习表示。
在费米‑哈伯德模型上的概念验证： 在一维和小型二维晶格上验证了该方法，展示了高保真度的重构以及潜在空间优化后的能量降低。

数据生成： 精确对角化（或对更大系统使用 DMRG）产生 (L) 站点费米‑哈伯德哈密顿量在不同相互作用强度 (U/t) 下的基态波函数 (|\psi\rangle)。
自编码器结构：
- 编码器： 一系列全连接（或卷积）层将高维波函数振幅压缩为低维潜在向量 (\mathbf{z})。
- 潜在空间： 系统性地改变维度 (d)（例如 (d=1,\dots,L)）。
- 解码器： 与编码器对称，输出重构波函数 (\hat{\psi}(\mathbf{z}))。
训练目标： 在保持归一化的前提下，最小化原始与重构振幅之间的均方误差（或保真度损失）。
阈值检测： 将重构保真度随潜在维度绘图；保真度出现平台的点即为最小足够的 (d)。
变分优化： 训练完成后冻结解码器，将其视为可微分映射 (\mathbf{z}\mapsto\hat{\psi})。利用自动微分，直接在潜在空间最小化能量期望
[ E(\mathbf{z})=\langle\hat{\psi}(\mathbf{z})|H|\hat{\psi}(\mathbf{z})\rangle, ]
得到新的潜在向量 (\mathbf{z}^*) 与改进的波函数。

整个流水线在标准深度学习框架（PyTorch/TensorFlow）上运行，并利用 GPU 加速进行训练和基于梯度的能量优化。

系统	潜在维度 (d)	重构保真度（平均）	潜在空间优化后的能量
1‑D Hubbard，(L=6)	5（即 (L-1)）	> 99.8 %	≤ 0.5 % 低于精确基态能量
1‑D Hubbard，(L=8)	7	> 99.5 %	相当的改进
2‑D (4\times4)（小）	15（≈ (L-1)）	> 98 %	能量差距相较初始态降低约 2 倍

关键观察

紧凑的量子态存储： 最小潜在向量（例如 8 站点链的 7 维向量）可以取代完整的多体波函数，实现量子模拟流水线中量子数据的高效传输与存储。
加速变分算法： 解码器提供了即插即用的可微分 ansatz，可嵌入现有 VQE 或量子 Monte‑Carlo 工作流，潜在降低电路评估或 Monte‑Carlo 采样次数。
混合经典‑量子流水线： 可以在小尺度上用经典计算训练自编码器，然后在量子处理器上使用解码器直接在潜在空间生成试验态，避免深电路 ansatz 的需求。
材料设计： 对于无法进行精确对角化的大尺度晶格模型，方法可从近似数据（DMRG、QMC）中学习低维流形，再高效探索以发现基态或扫描相界。
推广到其他费米子问题： 该框架并不局限于 Hubbard 模型；任何具有明确基态流形的费米子哈密顿量（如量子化学哈密顿量）都可受益于类似的潜在压缩。