[Paper] 物理科学中的符号回归导论

Source: arXiv - 2512.15920v1

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概述

论文 “Introduction to Symbolic Regression in the Physical Sciences” 作为一个快速发展的工具箱的入口，让研究人员和工程师能够从原始数据中自动发现紧凑、易于人类阅读的方程式。通过将符号回归（SR）定位为黑箱机器学习与传统理论驱动建模之间的桥梁，作者展示了为何 SR 正日益成为从天体物理尺度定律到昂贵仿真快速代理等各类问题的首选方法。

关键贡献

• 清晰的概念入门，阐述 SR 与标准回归的区别以及可解释性在科学与工程中的重要性。
• 真实案例调查，涵盖天文学、宇宙学、流体动力学和材料建模，展示 SR 应用的广度。
• SR 流程设计指南，包括搜索空间定义、算子集合、复杂度惩罚和特征选择。
• 集成路线图，将 SR 与现代 AI（如神经网络嵌入、强化学习）结合，以提升可扩展性。
• 挑战的批判性讨论，如计算成本、噪声敏感性、过拟合以及对领域特定约束（对称性、渐近行为）的需求。
• 未来方向愿景，强调物理信息约束和混合符号‑数值模型。

方法论

符号回归将发现方程视为搜索问题：给定一组输入变量，算法在由预定义运算符库（例如 +, -, *, /, sin, exp）构建的数学表达式空间中进行探索。

1. 基于种群的搜索 – 大多数 SR 工具使用遗传编程或进化策略在多代中演化候选公式。
2. 适应度评估 – 对每个候选公式根据其对训练数据的拟合程度（例如均方误差）进行打分，同时对复杂度进行惩罚（通常通过帕累托前沿实现）。
3. 搜索空间工程 – 作者强调策划运算符集合、施加维度分析以及嵌入已知对称性的重要性，以保持搜索的可处理性。
4. 混合方法 – 最近的工作将 SR 与神经网络结合（例如使用神经网络提出有前景的子表达式）或使用强化学习来引导进化过程。

论文的方法论部分通过实用技巧逐步引导读者完成这些步骤，避免使用大量专业数学术语。

结果与发现

• 广泛采用：特刊集合显示符号回归（SR）成功复现已知物理定律（例如开普勒第三定律），并在宇宙学和等离子体物理中发现新的经验关系。
• 紧凑代理模型：在多个案例研究中，SR 生成的模型比原始仿真 快几个数量级，且在关键观测量上误差保持在 < 2 % 以内。
• 鲁棒性权衡：实验表明，加入领域约束（对称性、渐近极限）显著提升对噪声数据的抵抗力并降低过拟合。
• 可扩展性瓶颈：纯进化式 SR 在处理高维数据集（> 20 个特征）时仍然困难，除非进行细致的特征预选或降维。

Practical Implications

• 快速原型设计：工程师可以使用 SR 为 CFD、气候或天体物理模拟生成可解释的代理模型，从而减少昂贵的计算周期。
• 数据驱动的理论构建：研究人员可以让 SR 提出符合已知物理规律的函数形式，加速假设生成和实验设计。
• 科学软件中的嵌入式 AI：通过将 SR 模块集成到现有工作流中（例如望远镜数据处理或材料信息学），团队可以自动发现校准曲线或尺度定律。
• 可解释的 AI：由于输出是符号方程，SR 在需要监管合规或利益相关者信任的场景（如航空航天或核能领域）中，提供了一种透明的深度网络替代方案。

限制与未来工作

• 计算开销：进化搜索仍然资源密集；要扩展到成千上万的变量，需要更智能的启发式方法或 GPU 加速实现。
• 噪声敏感性：在缺乏强先验的情况下，符号回归可能会捕捉到虚假的模式；稳健的预处理和噪声感知的适应度函数是必需的。
• 领域知识集成：完全自动化地融合对称性、守恒定律和渐近行为仍是一个未解的研究问题。
• 基准测试标准：缺乏面向整个社区的基准问题套件，导致难以客观比较不同的符号回归框架。

论文呼吁 AI 研究者、领域科学家和软件工程师之间加强合作，以弥补这些不足，并将符号回归从小众好奇心提升为物理科学中的主流工具。

作者

• Deaglan J. Bartlett
• Harry Desmond
• Pedro G. Ferreira
• Gabriel Kronberger

论文信息

• arXiv ID: 2512.15920v1
• 分类: cs.LG, astro-ph.IM, cs.NE, physics.comp-ph, physics.data-an
• 出版时间: 2025年12月17日
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