[论文] DInf-Grid：一种具备可微特征网格的神经微分方程求解器

Source: arXiv - 2601.10715v1

概述

一篇新论文 DInf-Grid 提出了一个快速、可微分的基于网格的表示，用于使用神经网络求解微分方程（DE）。通过将特征网格编码的速度与无限光滑的径向基函数（RBF）插值器相结合，作者实现了比传统基于坐标的 MLP 求解器快 5–20 倍的训练速度，同时保持了高精度和低模型规模。

关键贡献

• 可微特征网格：引入一种网格表示，通过 RBF 插值可以实现任意阶的微分，克服了先前基于网格的隐式模型的导数限制。
• 多分辨率共定位网格：一种层次分解，能够捕获低频趋势和高频细节，稳定全局梯度计算。
• 隐式微分方程驱动训练：网络直接从控制微分方程进行训练（损失 = 方程残差），无需真实数据。
• 广泛验证套件：在泊松（图像重建）、Helmholtz（波传播）和 Kirchhoff‑Love（布料模拟）问题上展示该方法。
• 速度‑精度权衡：相较于正弦 MLP 基线实现 5–20× 加速，同时提供可比的误差指标和紧凑的内存占用。

方法论

1. 特征网格构建 – 将空间离散为一组规则的 3‑D（或 2‑D）网格。每个网格单元存储一个低维特征向量。
2. RBF 插值 – 在任意坐标处评估解时，使用径向基函数（例如 Gaussian）对周围网格特征进行混合。由于 RBF 平滑，插值场的任意导数都可以解析计算。
3. 多分辨率堆叠 – 将不同分辨率的若干网格堆叠。粗网格捕获全局结构；细网格提供高频修正。所有网格保持对齐（共位），因此它们的贡献可以高效求和。
4. 来自微分方程的损失 – 将网络输出场 (u(\mathbf{x})) 代入目标微分算子（例如 Poisson 方程的 (\nabla^2 u = f)）。残差 (| \mathcal{L}[u] - f |^2) 与边界条件惩罚一起构成训练损失。
5. 优化 – 使用标准的随机梯度下降（Adam）更新网格特征向量。无需显式的 MLP 权重，因此每次迭代既廉价又省内存。

结果与发现

关键要点

• 训练时间从分钟降至秒级，适用于典型网格尺寸，能够实现快速原型设计。
• 模型体积缩小（网格特征仅几 MB，而深层 MLP 需要数十 MB）。
• 精度保持在先进坐标基求解器的水平，即使在高频波场上也是如此。

Practical Implications

• Fast Physics‑in‑the‑Loop: 工程师可以将 DInf‑Grid 求解器嵌入仿真流水线（例如实时布料或流体预处理），而无需传统神经 PDE 求解器的延迟。
• Edge Deployment: 轻量级网格表示能够轻松运行在 GPU 甚至移动 NPU 上，为设备端科学推理打开了大门（例如需要快速波场估计的 AR 应用）。
• Data‑Free Training: 由于损失来源于控制方程，开发者可以直接从问题规格进行模型训练，省去昂贵的数据收集。
• Hybrid Rendering: 在图形学中，DInf‑Grid 可以取代昂贵的基于泊松方程的图像光照求解，在几秒内提供可比的光照场。
• Rapid Design Iteration: 产品团队可以即时调整边界条件或源项并重新求解，加速声学、光学或结构分析的设计周期。

限制与未来工作

• 网格分辨率依赖：极细特征仍然需要更高分辨率的网格，这会增加内存使用。自适应或稀疏网格可以缓解此问题。
• 边界复杂性：处理高度不规则或移动的边界需要额外的编码策略（例如，有符号距离场）。
• 向更高维度的可扩展性：当前的公式演示到 3‑D；将其扩展到 4‑D（时空）问题可能需要分层或因式分解的网格方案。
• 理论保证：虽然经验误差很低，但对 RBF‑网格组合的形式收敛性证明仍是一个未解的研究方向。

底线：DInf‑Grid 表明你可以兼得两者优势——网格级的速度和神经网络级的灵活性，用于求解微分方程。对于构建物理感知工具的开发者而言，它提供了一种实用的、高性能的替代方案，取代笨重的基于 MLP 的求解器。

作者

• Navami Kairanda
• Shanthika Naik
• Marc Habermann
• Avinash Sharma
• Christian Theobalt
• Vladislav Golyanik

论文信息

• arXiv ID: 2601.10715v1
• Categories: cs.LG
• Published: 2026年1月15日
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