[Paper] 随机微分方程的完整分解

Source: arXiv - 2601.07834v1

概述

本文证明，任何在每个时间点其边缘分布已知的随机微分方程（SDE）都可以唯一地分解为三个构件：驱动边缘演化的标量场、对称的半正定扩散矩阵，以及捕捉“旋转”动力学的斜对称矩阵。此分解提供了一种简洁、数学上严格的方法，将随机系统的确定性、扩散性和保守性部分分离开来，为分析、仿真和控制开辟了新的途径。

关键贡献

• 通用分解定理，适用于具有指定时间依赖边缘分布的随机微分方程（SDE）。
• 唯一性证明，表明三个组成部分（标量场、对称扩散、斜对称漂移）由边缘分布唯一决定。
• 构造性算法，从给定的边缘轨迹恢复这三个场，基于求解线性偏微分方程和矩阵分解。
• 与最优传输的关联：标量场等同于将初始分布推送到时间 t 时的边缘分布的最优传输势。
• 示例说明（高斯、Ornstein‑Uhlenbeck 和非线性扩散），展示该分解如何简化分析洞察和数值实现。

方法论

1. 边际规范 – 从一族在时间和空间上平滑的概率密度 ({p_t(x)}_{t\ge0}) 开始。
2. 连续方程 – 通过连续方程 (\partial_t p_t + \nabla!\cdot (v_t p_t)=0) 表示 (p_t) 的演化，其中 (v_t) 是未知的速度场。
3. Helmholtz‑Hodge 分解 – 将 (v_t) 分解为梯度部分 (\nabla \phi_t)（标量场）和无散度部分 (J_t)。
4. 扩散矩阵提取 – 强加随机动力学由对称半正定的扩散矩阵 (a_t(x)) 驱动，满足 Fokker‑Planck 方程 (\partial_t p_t = -\nabla!\cdot (b_t p_t) + \tfrac12 \nabla!\cdot (a_t \nabla p_t))。
5. 斜对称漂移 – 在考虑了 (\nabla \phi_t) 和扩散项之后，漂移的剩余部分必须是斜对称矩阵场 (K_t(x))（即 (K_t^\top = -K_t)）。
6. 唯一性论证 – 通过比较两种可能的分解并利用扩散项的正性，作者表明这三个场不能不同，从而确立唯一性。

该构造归结为求解 (\phi_t) 的泊松型方程和 (a_t) 的矩阵分解，这两者都有成熟的数值求解器。

结果与发现

• 存在性: 对于任意平滑的边缘轨迹 ({p_t})，至少存在一个其解匹配这些边缘的 SDE，并且它可以用三分量形式表示。
• 唯一性: 标量场 (\phi_t)、扩散矩阵 (a_t) 和斜对称漂移 (K_t) 唯一确定，消除了模型规范中的歧义。
• 可解释性: 标量场对应最优传输势，扩散矩阵捕捉随机扩散，斜对称部分编码“不影响边缘密度”的“循环”力。
• 数值验证: 在合成数据上的模拟证实，从这三个场重建 SDE 能以机器精度再现给定的边缘分布。

实际意义

• 模型设计用于机器学习与金融 – 当实践者知道每个未来时间点状态变量（例如资产价格、生成模型中的潜在变量）的期望分布时，他们现在可以构造一个保证这些边缘分布的 SDE，并对扩散和旋转动力学进行明确控制。
• 改进的仿真流水线 – 将扩散与斜对称漂移分离，使开发者能够使用专门的积分器（例如用于斜对称部分的辛结构方案），其稳定性和效率优于通用 SDE 求解器。
• 随机控制中的可解释性 – 该分解将实际改变边缘分布的控制部分（标量场）与仅重新定向轨迹的部分分离，有助于设计成本效益高的控制策略。
• 与归一化流的关联 – 标量场可以解释为时变势流，暗示了能够强制精确边缘约束的连续归一化流新架构。
• 鲁棒性分析 – 由于扩散矩阵显式为半正定，开发者可以在模型训练或校准期间直接施加数值稳定性约束（例如特征值界限）。

限制与未来工作

• 平滑性要求 – 该定理假设边缘密度足够平滑；将结果扩展到具有跳跃或奇异成分的分布（例如 Lévy 过程）仍是一个未解之题。
• 计算成本 – 为每个时间步求解 (\phi_t) 的泊松方程并对扩散矩阵进行分解，在高维情况下可能代价高昂；可扩展的近似方法（例如神经 PDE 求解器）是一个有前景的方向。
• 扩展到流形上的状态 – 当前的表述适用于欧氏空间；将分解适配到流形（例如旋转群、图）将扩大其适用范围。
• 学习分解 – 未来工作可以探索端到端训练神经网络，直接从数据输出这三个场，从而实现基于数据的、具有指定边缘分布的随机微分方程的发现。

作者

• Samuel Duffield

论文信息

• arXiv ID: 2601.07834v1
• 分类: math.PR, cs.LG, math.ST
• 发布日期: 2026年1月12日
• PDF: 下载 PDF