[Paper] 基于 Wachspress 的 transfinite 公式在凸多边形域上精确强制 Dirichlet 边界条件的 Physics-Informed Neural Networks

Source: arXiv - 2601.01756v1

概述

本文提出了一种在计算域为凸多边形时，在物理信息神经网络（PINNs）中精确强制 Dirichlet 边界条件的新方法。通过借用几何建模中的经典 Wachspress 坐标，作者构建了一种无限插值，将边界数据提升到内部，确保神经网络的试探解始终满足规定的边界值。

关键贡献

• 基于Wachspress 的全局插值，用于凸多边形，推广了在矩形上使用的 Coons 双线性插值。
• 在深 Ritz 形式中精确的 Dirichlet 强制，消除了对惩罚项或近似距离函数的需求。
• 几何特征映射：将 Wachspress 坐标向量 (\boldsymbol\lambda(\mathbf{x})) 输入网络，直接编码域的边缘信息。
• 受限的 Laplacian（试函数的拉普拉斯算子有界），解决了早期精确强制方案中出现的稳定性问题。
• 全面评估 前向、逆向和参数化 Poisson 问题，展示出与标准 PINN 方法相当或更好的精度。

方法论

1. 域表示 – 对于一个 (n) 边的凸多边形 (P)，计算 Wachspress 重心坐标
   [ \boldsymbol\lambda(\mathbf{x}) = (\lambda_1,\dots,\lambda_n). ]
   这些有理函数在给定的边上取值为 1，在其他所有边上取值为 0，为任意内部点提供平滑的“边缘指示”。

2. 边界数据的跨域扩展 – 给定在 (\partial P) 上定义的 Dirichlet 边界函数 (\mathcal{B})，构造连续扩展
   [ g(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i(\mathbf{x}),\mathcal{B}_i(\mathbf{x}), ]
   其中 (\mathcal{B}_i) 是 (\mathcal{B}) 在第 (i) 条边上的限制。该经典跨域插值在每条边上精确匹配 (\mathcal{B})，并在多边形内部平滑变化。

3. 神经网络试函数 – 设 (N_\theta(\mathbf{x})) 为标准前馈网络（例如全连接、tanh 或 ReLU 激活）。可行的试解定义为
   [ u_\theta(\mathbf{x}) = g(\mathbf{x}) + \bigl(N_\theta(\mathbf{x}) - N_\theta|{\partial P}(\mathbf{x})\bigr), ]
   其中 (N\theta|{\partial P}) 表示网络仅在边界上求值后再通过相同的跨域映射提升。由于构造方式，任意 (\theta) 下都有 (u\theta = \mathcal{B}) 在 (\partial P) 上成立。

4. Deep Ritz 损失 – 损失泛函为能量
   [ \mathcal{L}(\theta)=\int_P \left(\tfrac12|\nabla u_\theta|^2 - f,u_\theta\right),d\mathbf{x}, ]
   通过自动微分和在 (P) 内采样的求积点进行求值。无需为边界添加惩罚项。

5. 训练流程 – Wachspress 坐标预先计算（或解析求得），并作为额外输入提供给网络，使模型能够学习几何感知特征。使用标准优化器（Adam → L‑BFGS）进行训练。

结果与发现

试验函数的有界拉普拉斯算子导致更平滑的损失曲面，这转化为更快的收敛（≈30 % 更少的 epoch）以及在不同网络深度下更稳定的训练。

实际意义

• Plug‑and‑play BC handling – 开发者可以将 Wachspress 超限层直接嵌入现有的 PINN 流程中，确保 Dirichlet 边界条件的满足，而无需调节 penalty 权重。
• Geometry‑aware networks – 通过将 (\boldsymbol\lambda(\mathbf{x})) 作为输入，单一模型即可在整个凸多边形族上求解 PDE，实现快速的设计空间探索（例如，形状优化、参数化 CAD）。
• Reduced training cost – 精确的边界条件缩小了解空间，通常只需更小的网络和更少的训练迭代——在 GPU 资源紧张时尤为宝贵。
• Compatibility with existing frameworks – 该方法仅依赖标准的自动微分工具（TensorFlow、PyTorch）和简单的有理函数，因而可以轻松集成到当前的 scientific‑ML 代码库中。

限制与未来工作

• 凸性要求 – Wachspress 坐标仅在凸多边形上定义；将该方法扩展到非凸或曲面区域需要采用其他重心坐标方案（例如，均值坐标或调和坐标）。
• 向 3‑D 可扩展性 – 本文聚焦于 2‑D 多边形；3‑D 类比将涉及 Wachspress 多面体坐标，其计算成本更高。
• 复杂边界条件 – 当前形式仅处理标量 Dirichlet 数据。将其扩展到向量值或混合（Dirichlet/Neumann）条件仍是一个未解问题。
• 自适应采样 – 虽然均匀随机采样在所示基准中有效，但将该方法与自适应积分或误差驱动的点选取相结合可能进一步提升效率。

Bottom line: 通过将经典几何插值与现代深度学习相结合，这项工作为 PINNs 中最繁琐的方面之一——强制 Dirichlet 边界——提供了一个简洁、数学上精确的解决方案，同时保持实现轻量且对开发者友好。

作者

• N. Sukumar
• Ritwick Roy

论文信息

• arXiv ID: 2601.01756v1
• 分类: math.NA, cs.NE
• 发表时间: 2026年1月5日
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