[Paper] MXU에서 대칭 선형 해법 가속을 위한 계층적 정밀도와 재귀

Source: arXiv - 2601.08082v1

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개요

이 논문은 NVIDIA Tensor Cores (H200) 및 AMD Matrix Cores (MI300X)와 같은 최신 매트릭스 처리 유닛(MXU)을 목표로 하는 휴대용 혼합‑정밀도 Cholesky 솔버를 제시한다. 고전적인 Cholesky 알고리즘을 계층적 재귀 구조로 재구성함으로써, 저자들은 작업의 대부분을 빠른 저‑정밀도 GEMM 유닛에 할당하면서 수치적으로 민감한 대각 블록은 고정밀도로 유지하여 정확성을 희생하지 않고도 급격한 속도 향상을 달성한다.

핵심 기여

• 계층적 재귀를 사용해 Cholesky, TRSM, SYRK를 중첩된 하위 문제로 분해함으로써 MXU 가속 GEMM에 대한 최대 병렬성을 노출합니다.
• 세밀한 혼합 정밀도 데이터 레이아웃: 큰 오프-대각 타일은 FP16으로 계산하고, 대각 타일은 안정성을 유지하기 위해 FP64로 유지합니다.
• Julia 기반 구현으로 다중 디스패치와 동적 타입 추론을 활용해 하드웨어에 구애받지 않는 코드를 작성하면서도 내부적으로 벤더 최적화 커널을 호출합니다.
• 성능 혁신: SYRK에서 27배, TRSM에서 5배의 속도 향상을 달성했으며, 전체적으로 Cholesky는 cuSOLVER FP64 대비 5배 빠릅니다.
• 정확도 보장: 혼합 정밀도 솔버는 순수 FP16 접근법에 비해 ≈100배 높은 정확도를 제공하면서도 **≈88 %**의 FP16 피크 처리량을 유지합니다.
• 크로스 벤더 검증: NVIDIA (H200)와 AMD (MI300X) GPU 모두에서 유사한 성능 향상이 관찰되어 진정한 이식성을 입증했습니다.

방법론

1. 재귀적 분해 – Cholesky 분해는 행렬을 사분면으로 나누는 재귀 형태로 표현됩니다. 각 재귀 단계는 더 작은 TRSM 및 SYRK 작업을 생성하며, 이 작업들은 MXU 타일 크기에 맞을 때까지 다시 재귀적으로 분해됩니다.
2. 정밀도 계층화 – 사용자 정의 데이터 구조가 각 타일에 목표 정밀도를 태그합니다. 대각이 아닌 타일(반올림에 덜 민감한)은 MXU GEMM 엔진에 전달되기 전에 FP16으로 변환됩니다. 대각 타일은 FP64 상태를 유지하며 표준 고정밀 커널로 처리됩니다.
3. Julia 프런트엔드 – 알고리즘은 순수 Julia로 작성되며, 다중 디스패치를 이용해 런타임에 적절한 정밀도 커널을 자동으로 선택합니다. 코드는 저수준 GEMM, TRSM, SYRK 연산을 위해 cuBLAS / rocBLAS를 호출하여 고수준 로직을 하드웨어에 독립적으로 유지합니다.
4. 오류 제어 – 각 재귀 레벨 후에 알고리즘은 잔차 보정 단계(본질적으로 고정밀 정제)를 수행하여 FP16 타일이 도입한 오류를 제한하고, 최종 해가 FP64 정확도 요구 사항을 충족하도록 보장합니다.

결과 및 발견

같은 패턴이 AMD MI300X에서도 적용됩니다. 혼합 정밀도 솔버가 유사한 속도 향상과 오류 한계를 달성하여, 재귀 + 정밀도 계층화 전략이 특정 벤더의 MXU 구현에 국한되지 않음을 확인합니다.

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실용적 함의

• 가속된 과학 워크로드 – 대칭 해를 많이 사용하는 애플리케이션(예: 유한 요소 분석, 기후 시뮬레이션, 가우시안 프로세스 회귀)은 전체 코드베이스를 재작성하지 않고도 실시간(벽시계) 시간이 수십 배 단축될 수 있습니다.
• 머신러닝 파이프라인 – 많은 ML 알고리즘(예: 커널 방법, 2차 최적화기)은 Cholesky 분해가 필요합니다; 혼합 정밀도 솔버를 사용하면 이러한 단계가 순수 FP32 학습 루프와 경쟁할 수 있습니다.
• GPU 중심 라이브러리 – Julia 구현은 라이브러리 작성자가 혼합 정밀도 선형대수 기본 연산을 노출하고 자동으로 최적의 MXU 커널에 디스패치할 수 있는 깔끔한 경로를 보여줍니다.
• 에너지 효율성 – MXU에서 작업의 대부분을 FP16으로 수행하면 FLOP당 전력 소모가 감소하여 대규모 HPC 클러스터와 GPU 가속기를 갖춘 엣지 AI 디바이스에 유리합니다.
• 이식성 – 고수준 알고리즘이 하드웨어에 구애받지 않기 때문에 개발자는 최소한의 코드 변경으로 향후 MXU 아키텍처(예: NVIDIA Hopper 또는 AMD CDNA 후속 제품)를 목표로 할 수 있습니다.

제한 사항 및 향후 연구

• 메모리 대역폭 압력 – 재귀 타일링은 매우 큰 행렬에 대해 데이터 이동을 증가시켜 메모리‑제한 시스템에서 확장성을 제한할 수 있습니다.
• 정밀도 튜닝 오버헤드 – 최적의 타일 크기와 정밀도 분할을 결정하려면 현재 경험적 튜닝이 필요합니다; 적응형 런타임 스케줄러가 이를 자동화할 수 있습니다.
• 희소 확장 – 현재 연구는 조밀한 대칭 행렬에 초점을 맞추고 있으며, 재귀를 희소 Cholesky에 적용하는 것은 아직 해결되지 않은 과제입니다.
• 다양한 언어 지원 – Julia가 간결한 구현을 제공하지만, 동일한 접근 방식을 C++/Python 생태계에 통합하면 채택이 확대될 것입니다.

전반적으로, 이 논문은 최신 MXU에서 가능한 모든 성능을 끌어내면서 엔지니어가 신뢰하는 수치적 보장을 유지하는 설득력 있는 방법을 제시합니다.

저자

• Vicki Carrica
• Rabab Alomairy
• Evelyne Ringoot
• Alan Edelman

논문 정보

• arXiv ID: 2601.08082v1
• 분류: cs.DC, cs.ET, cs.MS, cs.PF
• 출판일: 2026년 1월 12일
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