机器学习中的向量空间是什么？（含数学与直觉）
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机器学习与向量空间
在机器学习中，数据通常表示在 vector spaces 中，以便可以进行诸如 addition（组合）和 scalar multiplication（缩放）等数学运算。
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1. 什么是域？
域 是一个集合，配备了两种运算——加法 ((+)) 和乘法 ((\cdot))，并满足以下条件：
| 属性 | 描述 |
|---|---|
| 闭合性 | 对集合中的元素进行运算后，得到的结果仍然属于该集合。 |
| 公理 | 交换律、结合律、分配律、加法和乘法单位元的存在，以及加法逆元（对所有元素）和乘法逆元（对所有非零元素）的存在。 |
| 除法 | 对任何非零元素都可以进行除法（即每个非零元素都有乘法逆元）。 |
直觉： 域就像一个厨房，里面有你“烹饪”数字所需的所有基本工具——只是你不能除以零。
常见的域例子：
- 实数 (\mathbb{R})
- 有理数 (\mathbb{Q})
- 复数 (\mathbb{C})
整数集合 (\mathbb{Z}) 不是 域，因为除法运算后可能不再属于该集合（例如，(2 \div 3) 不是整数）。(\mathbb{Z}) 构成一个 环，它保证加法、减法和乘法的闭合性，但不保证除法。
形式上，域 (F) 满足
[ (F,+) \text{ 是阿贝尔群},\qquad (F\setminus{0},\cdot) \text{ 是阿贝尔群}, ] [ \forall a,b,c\in F,; a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c. ]
2. 什么是空间？
A space 是一个集合，并配有特定的 structure——即一套规则，规定了对元素允许进行哪些操作以及这些操作必须满足哪些属性。不同的结构产生不同类型的空间。
3. 向量空间
向量空间是一种在域（通常为 (\mathbb{R}) 或 (\mathbb{C})）上构建的结构。它由一个集合 (V) 以及两个运算组成：
- 向量加法 (+: V \times V \to V)
- 数乘 (\cdot : F \times V \to V)
这两个运算必须在 (V) 中闭合，并满足常见的向量空间公理（加法的结合律、交换律，分配律，零向量的存在等）。
形式上，对所有 (u,v,w \in V) 和 (\alpha,\beta \in F)：
[ \begin{aligned} &u+v \in V,\qquad \alpha v \in V,\ &u+0 = u,\qquad \alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v,\ &(\alpha+\beta)v = \alpha v + \beta v,\qquad (\alpha\beta)v = \alpha(\beta v),\ &1_F v = v. \end{aligned} ]
类比： 可以把向量空间想象成厨房里的调味架。调味架（空间）存放调味料（向量），而规则（结构）告诉你如何混合调味料（向量加法）以及如何把配方放大或缩小（数乘）。
什么是向量？
向量就是向量空间中的一个元素。在许多常见情形（例如 (\mathbb{R}^n)）中，向量可以表示为域元素的有序列表：
[ v = (v_1, v_2, \dots, v_n) \in \mathbb{R}^n. ]
向量的不同解释：
- 物理学： 方向和大小。
- 数学： 坐标。
- 机器学习： 数据点或特征表示。
类比： 向量是一道配方，由调味架上的原料（向量）按照厨房的混合规则组合而成。
4. 当某些东西 不是 向量空间
并非所有对象的集合都可以构成向量空间。下面列出了一些常见的 不满足 向量空间公理（尤其是加法和数乘闭合性）的例子。
| 示例 | 失败原因 |
|---|---|
| 分类值（例如，“红色”，“蓝色”，“绿色”） | 对分类进行加法或标量乘法没有意义的解释；在使用之前必须进行编码（例如，独热编码）。 |
| 概率分布 ([0.2, 0.5, 0.3]) | 将两个概率向量相加可能不再和为 1，且用负标量缩放会得到负的“概率”。 |
| 集合（例如 ({ \text{black}, \text{white}, \text{blue} })） | 集合的运算如并集或交集并不等同于向量加法或标量乘法。 |
5. 我们迄今为止所覆盖的内容
- 域提供算术基础（加法、减法、乘法、除法）。
- 空间给出一个集合以及一种结构，告诉我们哪些运算是被允许的。
- 向量空间是一种特定的空间，我们可以对向量进行加法并用域元素标量乘，并且拥有一个特殊的零向量。
- 向量是存在于向量空间中的各个元素（配方）。
在此阶段，我们仅介绍了加法和标量乘法。诸如向量长度、距离或角度等概念需要额外的结构（例如范数、内积），将在后面讨论。
6. 总结（厨房隐喻）
| 概念 | 厨房类比 |
|---|---|
| Field | 厨房的基本工具（刀、勺等），它们让你可以加、减、乘、除（除以零除外）。 |
| Space | 厨房的组织和规则（你可以用这些工具做什么）。 |
| Vector Space | 一个特定的厨房布局，你可以 混合 食材（向量加法）并 缩放 食谱（标量乘法），且始终在厨房内部。 |
| Vector | 使用该厨房的食材和规则制作的具体 配方。 |
| Machine‑Learning Data | 必须 处理（编码、归一化等）的原始食材，使其能够存在于一个定义明确的厨房——向量空间——中，学习算法才能发挥作用。 |
下一步是为向量空间添加额外的结构（范数、内积），这样我们就可以讨论长度、距离和角度——这些是许多机器学习算法的关键概念。
将在后续文章中介绍。
感谢阅读。向量空间是机器学习的基础，直观理解对掌握它们大有帮助。