月球与数学：宁静海
Source: Dev.to
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第 1章 – 静海
这是一次对月球以及支撑零知识证明（ZKP）的 “月球数学” 的探索。从阿波罗 11 登陆点出发，我们的旅程将环绕月球，每一章都会介绍一个新的数学领域。
- 月球数学手册 – [download link] – 我们将在旅行中讨论的数学指南（附带可随时尝试的练习）。
- 音乐 – 合适的原声带是 Brian Eno 的 Apollo Atmospheres and Soundtracks。
图表与伙伴
NASA 已公开许多图表帮助我们导航。我们的伙伴是 Peggy 与 Victor：
- Victor 是个怀疑论者，总是担心 Peggy 会用错误的证明欺骗他。
我们已经准备好出发，但要去哪里呢？
我们的旅程从人尽皆知的 静海 (Sea of Tranquility) 出发，前往月球神秘的暗面，从基础数学一路走向椭圆曲线以及 ZKP 系统中使用的各种过程。
行程安排
| 章节 | 目的地 | 主题 |
|---|---|---|
| 1 | 静海 | 基础 |
| 2 | 彩虹湾 | 多项式 |
| 3 | 风暴海 | 有限域 |
| 4 | 阿彭宁山脉 | 抽象代数 |
| 5 | 远侧 | 椭圆曲线 |
| 6 | 莫斯科海 | R1CS |
| 7 | 提科陨坑 | 可信设置 |
| 8 | 北极 | Groth16 与真正的零知识 |
冲突：可验证性 vs. 隐私
银行强调隐私：你的信息保持私密，但交易不可验证，因此我们必须信任银行。
零知识证明解决了这一冲突：我们同时获得 可验证性（数学证明） 和 隐私（验证者不会学到新信息）。
类比
- 想象我们的月球之旅最初是一次秘密寻找外星文物的任务（如《2001：太空漫游》）。
- 对于数字资产来说，仅仅物理遮蔽信息是无用的；我们需要能够在隐藏信息的同时仍然允许验证的数学构造。
本章的目标是以一个众所周知的场景——静海 (Mare Tranquillitatis)——奠定背景。
场景设定
- 右侧：太阳正从东方升起。
- 地面：灰色、平坦的月壤——由碎石和炭灰色粉末组成的层，覆盖在基岩上，形成于陨石撞击。颗粒锋利，可能损坏设备。
- 地平线：看似很近（几公里），但因月球体积小而急剧弯曲。
正如月球的地平线可能误导视线，证明的领域也会让我们失去全局视角。我们需要明确的规则。
什么是零知识证明？
零知识证明系统必须满足三个属性：
- 完备性 – 如果佩吉（Peggy）是诚实的且她证明的陈述为真，数学总是成立；维克多（Victor）将始终接受她的证明。
- 可靠性 – 如果陈述为假，佩吉无法作弊。欺骗维克多的概率可以忽略不计。
- 零知识性 – 如果陈述为真，维克多不会学到其他任何信息；他无法通过逆向工程证明来发现任何秘密。
术语速查
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| $\mathbb{Z}$ | 所有整数（整数集合）。 |
| $\mathbb{Q}$ | 有理数集合（整数的比值）。 |
我们将 重点关注整数 和模运算（常称为 时钟数学）。
- 同余 把在同一模数下余数相同的整数归为一类。
- 示例：$13 \equiv 17 \equiv 21 \pmod{4}$，因为它们除以 4 的余数都是 1。
更多算术将在 第 3 章（风暴之海）中探讨，当我们学习域时。
地形特征
- 阿彭宁山脉 – 当我们离开宁静之海（Sea of Tranquility）时，山脉在左侧升起。
- 普林尼陨石坑 – 一个宽 43 公里、中心有峰的陨石坑，像哨兵一样矗立在附近。
我们正离开熟悉的环境，前往未知之地，因此需要更多术语和概念。
关键概念
- 见证（Witness） – 佩吉拥有的秘密数据，她想证明自己知道但不向维克多透露。
- 不对称性（Asymmetry） – 一个基本的密码学概念，我们将在后文多次回顾。
两步类比
- 寻找外星文物（见证） – 困难，需要车辆、燃料、时间、运气；计算成本高。
- 检查照片（陈述） – 简单，只需瞬间即可完成。
如果解决问题很容易，我们就不需要证明——我们可以自己直接求解。
因此，零知识证明系统的目标是 简洁：证明应足够小以便处理，验证过程也应相对快速。
跨越地形
我们无法直接穿越阿彭宁山脉，只能通过 哈德利‑阿彭宁间隙（Hadley‑Apennine Gap，阿波罗 15 的着陆点）。这条山脉与沼泽 Palus Putridi（“腐败沼泽”）相接的狭窄走廊将是我们的下一个航点。
edinis (Marsh of Decay)
在我们左侧是一条巨大的蜿蜒峡谷，名为 Hadley Rille；右侧则是巍峨的 Mount Hadley。
我们暂时不去攀登阿尔卑斯山——那一挑战留到 第 4 章，当我们处理 抽象代数 的繁重工作时再说。
旅程继续
一旦我们越过山脉，天地便豁然开朗，我们进入 Sea of Rains。我们通过远方的三个巨型陨坑来导航：
- Archimedes
- Autolycus
- Aristillus
向西北行进，我们来到 terminator line，即昼夜交界的分界线。
光与暗如此鲜明的分界正是我们在证明中所追求的：一个明确、易于检验的界限，区分有效证明和无效证明。
背后的数学原理
在底层数学中，我们通过 概率 来实现这一点。虽然理论上是 概率性的，但错误证明被接受的概率极其微小（就像在这片沙漠中猜中一粒特定的沙子），在实际操作中，它几乎是一堵坚固、锐利的墙。
阴影变得更长，数学也即将变得更陡峭。
Sinus Iridum – 在这里我们将学到，每一个秘密不过是多项式曲线上的一个点。
进一步资源
欲了解有关 零知识证明 (ZKPs) 及其背后数学的更多信息，请访问我们的 学院。
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