什么是 Laplace Transform？
发布: (2025年12月24日 GMT+8 08:18)
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原文: Dev.to
Source: Dev.to
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定义
拉普拉斯变换是一种强大的积分变换，它将时间 (t) 的函数（通常是 (f(t))）转换为复频率变量 (s) 的函数，记作 (F(s)) 或 (\mathcal{L}{f(t)})。它像一个“显微镜”，把在时域中难以处理的微分方程转化为在 (s) 域中易于处理的代数方程。
关键属性
| 时域运算 | (s)-域表达式 | 解释 |
|---|---|---|
| 微分 (\displaystyle \frac{df}{dt}) | (sF(s) - f(0^-)) | 将导数转换为乘法 |
| 积分 (\displaystyle \int_0^t f(\tau),d\tau) | (\displaystyle \frac{F(s)}{s}) | 将积分转换为除法 |
| 卷积 (\displaystyle f(t) * g(t)) | (F(s),G(s)) | 系统响应 = 输入 × 传递函数 |
| 时间平移 (\displaystyle f(t-a)u(t-a)) | (e^{-as}F(s)) | 轻松处理延迟 |
| 初值/终值（稳态） | (\displaystyle \lim_{s\to\infty}sF(s),; \lim_{s\to0}sF(s)) | 快速稳态检查 |
求解线性微分方程
拉普拉斯变换最常用于在控制系统和电路分析中求解线性常微分方程（ODE）。
典型步骤
- 对整个 ODE 进行拉普拉斯变换 → 得到关于 (s) 的代数方程。
- 求解未知的变换（例如 (X(s))）。
- 进行逆拉普拉斯变换 → 获得时域解 (x(t))。
简单示例：二阶系统
[ \text{Transfer function } G(s) = \frac{1}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2} ]
应用
控制系统工程
- 通过定位 (G(s)) 的极点来分析稳定性（左半平面 → 稳定）。
- 在 (s) 域直接设计控制器（PID、前馈‑滞后）。
- 如波特图、奈奎斯特图和根轨迹等工具均来源于 (G(j\omega))。
信号处理与通信
- 系统对任意输入的响应：(Y(s) = H(s)X(s))。
- 在 (s) 域设计模拟滤波器（低通、高通），然后使用双线性变换转换为数字滤波器。
热传导、流体动力学与偏微分方程
- 将时间变量变换以求解空间常微分方程。
- 示例：半无限杆的热方程在 (s) 域变为代数方程；逆变换得到包含误差函数的解。
概率与统计
- 矩母函数本质上是拉普拉斯变换。
- 在排队论和可靠性工程中的应用。
机械与航空航天工程
- 振动分析、颤振以及伺服机构设计。
- 获得瞬态响应，无需进行数值积分。
电力系统与电子学
- 开关电路的瞬态分析。
- 对于具有初始条件的电路，提供比时域仿真更快的洞察。
与傅里叶变换的比较
| 方面 | 傅里叶变换 | 拉普拉斯变换 |
|---|---|---|
| 频域 | 纯虚数 ((s=j\omega)) | 复数 ((s=\sigma + j\omega)) |
| 收敛性 | 要求函数足够衰减 | 通过实部 (\sigma) 处理增长的指数函数 |
| 瞬态 | 较差（假设为周期/稳态） | 优秀（包括初始条件） |
| 因果系统 | 通常是双边的 | 单边的 ((t\ge 0)) – 完全适用于真实物理系统 |
傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴上求值的特例。
常见拉普拉斯变换对
| 时间函数 (f(t)) | 拉普拉斯变换 (F(s)) |
|---|---|
| (1)（单位阶跃） | (\displaystyle \frac{1}{s}) |
| (t) | (\displaystyle \frac{1}{s^{2}}) |
| (e^{-at}) | (\displaystyle \frac{1}{s+a}) |
| (\sin(\omega t)) | (\displaystyle \frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}) |
| (\cos(\omega t)) | (\displaystyle \frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}) |
| (e^{-at}\sin(\omega t)) | (\displaystyle \frac{\omega}{(s+a)^{2}+\omega^{2}}) |