使用 R 进行优化：概念、起源、应用与案例研究

发布: 2天前 (2025年12月3日 GMT+8 17:44)

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原文: Dev.to

Source: Dev.to

优化的起源

数学优化领域可以追溯到 17 世纪，当时牛顿和莱布尼茨等数学家奠定了微积分的基础。早期的优化问题涉及寻找函数的最大值或最小值，随后逐步扩展到更复杂的多变量约束问题。

到 20 世纪初，优化通过运筹学获得了显著关注，尤其是在二战期间，各国需要有效分配有限的军事资源。线性规划由乔治·丹齐格在 1947 年提出 simplex 方法正式化，彻底改变了工业界处理资源分配的方式。

随着计算能力的提升，优化从理论数学转向广泛的实际应用。借助 R 等编程语言，优化变得对分析师、数据科学家和各领域研究者更加易用。

什么是优化？

优化指的是从一组可用备选方案中选择最佳解的过程。它包括：

目标函数 – 例如，最大化利润、最小化成本
决策变量 – 我们可以操控的输入
约束条件 – 资源、时间等限制
最优解 – 满足约束并产生最佳结果

优化问题通常分为两类：

无约束优化 – 决策变量可以在其定义域内取任意值。
有约束优化 / 线性规划 (LP) – 对变量施加限制或约束。

R 通过 optim() 函数以及 lpSolve、lpSolveAPI 等包同时支持这两类优化。

R 中的无约束优化

无约束优化是在没有限制条件的情况下寻找函数的最小值或最大值。R 提供了内置的 optim() 函数来求解此类问题。

示例

# Define the objective function
f <- function(x) 4 * (x[1] - 1)^2 + 7 * (x[2] - 3)^2 + 30

# Starting point
c0 <- c(1, 1)

# Run optimization
result <- optim(c0, f)

# Display results
result$par          # Optimal parameters
result$value        # Minimum value of the function
result$convergence  # 0 indicates successful optimization

输出显示最优参数接近 (1, 3)，函数最小值为 30，收敛状态为 0（表示优化成功）。

线性规划简介

线性规划（LP）专注于在线性约束下优化线性目标函数。它广泛用于资源分配、生产计划、运输、能源管理和排程等领域。

LP 问题的结构如下：

目标函数 – 最大化或最小化
决策变量 – 如 y1, y2, …
约束条件 – 线性不等式或等式
非负性 – y1 ≥ 0, y2 ≥ 0

像 lpSolve 这样的包使得在 R 中实现 LP 既简单又直观。

优化的实际应用

1. 供应链与物流

仓库选址
配送路线规划
库存管理
运输成本最小化

2. 制造业

生产排程
减少废料
机器利用率最大化

3. 金融

在收益、风险和市场约束之间平衡的投资组合构建（二次规划）

4. 农业

考虑土地面积、作物价格、资源约束和劳动力的种植策略

5. 医疗保健

护士排班
病人等待时间缩短
医院床位分配

案例研究 1：产品组合优化

某公司生产两种产品 A 和 B，售价分别为 $25 和 $20。资源和时间约束如下：

可用资源：1800 单位
可用时间：8 小时（480 分钟）
产品 A 需要 20 单位资源；B 需要 12 单位资源
两者均需 4 分钟的生产时间

目标： 最大化收入

[ \text{Revenue} = 25y_1 + 20y_2 ]

约束条件

[ \begin{aligned} 20y_1 + 12y_2 &\le 1800 \ 4y_1 + 4y_2 &\le 480 \ y_1, y_2 &\ge 0 \end{aligned} ]

在 R 中求解（lpSolve）

library(lpSolve)

objective.in <- c(25, 20)                     # Coefficients of the objective
const.mat   <- matrix(c(20, 12, 4, 4), nrow = 2, byrow = TRUE)
rhs         <- c(1800, 480)
dir         <- c("<=", "<=")

optimum <- lp("max", objective.in, const.mat, dir, rhs)

# Results
optimum$solution   # Production quantities (y1, y2)
optimum$objval     # Maximum revenue

最优生产方案

产品 A：45 单位
产品 B：75 单位
最大收入：$2,625

案例研究 2：农业优化问题

一位农民拥有 75 英亩土地，想要种植小麦 (x) 和大麦 (y)。LP 模型考虑了种植成本、每蒲式耳利润、每英亩产量以及储存约束。

目标： 最大化利润

[ \text{Profit} = 143x + 60y ]

约束条件

[ \begin{aligned} 120x + 210y &\le 15000 \quad \text{（种植成本）}\ 110x + 30y &\le 4000 \quad \text{（储存限制）}\ x + y &\le 75 \quad \text{（土地限制）}\ x, y &\ge 0 \end{aligned} ]

在 R 中求解（lpSolveAPI）

library(lpSolveAPI)

lprec <- make.lp(0, 2)               # 0 constraints, 2 decision variables
lp.control(lprec, sense = "max")    # Maximization problem

set.objfn(lprec, c(143, 60))         # Objective coefficients

add.constraint(lprec, c(120, 210), "<=", 15000)  # Planting cost
add.constraint(lprec, c(110, 30),  "<=", 4000)   # Storage limit
add.constraint(lprec, c(1, 1),    "<=", 75)      # Land limit

solve(lprec)                        # Solve the model
get.variables(lprec)                # Optimal acres (x, y)

最优耕种面积

小麦：21.875 英亩
大麦：53.125 英亩
最大利润：$6,315.63

为什么使用 R 进行优化？

内置函数（optim()）和强大的库（lpSolve、lpSolveAPI、ROI、nloptr 等）
可使用 ggplot2 等工具直观展示约束和解
与统计建模、数据处理流水线无缝集成
开源、跨平台，拥有庞大的社区支持

结论

优化在现代决策中扮演关键角色，涉及制造、物流、农业、金融等众多行业。借助 R，实施优化模型变得更加便捷和实用，得益于其数学计算能力和友好的软件包。通过掌握核心概念、学习真实案例并进行实践，你即可自信地解决自己的优化问题。无论是最大化利润、最小化成本，还是在资源受限的情况下进行分配，R 中的优化工具都能帮助你做出更聪明、更高效的决策。