라플라스 변환이란?

발행: 1주 전 (2025년 12월 24일 오전 09:18 GMT+9)

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Source: Dev.to

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Definition

라플라스 변환은 시간 (t) (보통 (f(t)))의 함수를 복소 주파수 변수 (s)의 함수 (F(s)) 혹은 (\mathcal{L}{f(t)}) 로 변환하는 강력한 적분 변환입니다.
이는 미분 방정식(시간 영역에서는 다루기 어려운)을 대수 방정식( (s)-영역에서는 쉽게 다룰 수 있는)으로 바꾸어 주는 “현미경”과 같은 역할을 합니다.

주요 특성

시간 영역 연산	(s)-영역 표현	해석
미분 (\displaystyle \frac{df}{dt})	(sF(s) - f(0^-))	미분을 곱셈으로 변환
적분 (\displaystyle \int_0^t f(\tau),d\tau)	(\displaystyle \frac{F(s)}{s})	적분을 나눗셈으로 변환
합성곱 (\displaystyle f(t) * g(t))	(F(s),G(s))	시스템 응답 = 입력 × 전달 함수
시간 지연 (\displaystyle f(t-a)u(t-a))	(e^{-as}F(s))	지연을 쉽게 처리
초기/최종값 (정상 상태)	(\displaystyle \lim_{s\to\infty}sF(s),; \lim_{s\to0}sF(s))	정상 상태를 빠르게 확인

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선형 미분 방정식 풀기

라플라스 변환은 제어 시스템 및 회로 해석에서 선형 ODE를 푸는 데 가장 일반적으로 사용됩니다.

전형적인 단계

전체 ODE에 라플라스 변환을 적용 → (s)에 대한 대수 방정식 얻기.
미지의 변환(예: (X(s)))을 풀기.
역라플라스 변환을 적용 → 시간 영역 해 (x(t))를 복원.

간단한 예: 2차 시스템

[ \text{Transfer function } G(s) = \frac{1}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2} ]

응용

제어 시스템 공학

(G(s))의 극을 찾아 안정성을 분석 (좌반평면 → 안정).
(s) 영역에서 직접 컨트롤러(PID, lead‑lag) 설계.
Bode 플롯, Nyquist 다이어그램, root‑locus와 같은 도구는 (G(j\omega))에서 파생됨.

신호 처리 및 통신

임의 입력에 대한 시스템 응답: (Y(s) = H(s)X(s)).
(s) 영역에서 아날로그 필터(저역통과, 고역통과) 설계 후, 이중선형 변환(bilinear transform)으로 디지털로 변환.

열 전달, 유체 역학 및 편미분 방정식(PDE)

시간 변수를 변환하여 공간 ODE를 풂.
예시: 반무한 막대의 열 방정식이 (s) 영역에서 대수식으로 변환되고, 역변환을 통해 오차 함수(error functions)를 포함한 해를 얻음.

확률 및 통계

모멘트 생성 함수는 본질적으로 라플라스 변환과 동일.
대기행렬 이론 및 신뢰성 공학에 적용.

기계 및 항공우주 공학

진동 해석, 플러터, 서보 메커니즘 설계.
수치 적분 없이도 과도 응답을 얻음.

전력 시스템 및 전자공학

스위칭 회로의 과도 분석.
초기 조건이 있는 회로에 대해 시간 영역 시뮬레이션보다 빠른 통찰 제공.

푸리에 변환과의 비교

항목	Fourier Transform	Laplace Transform
주파수 영역	Purely imaginary ((s=j\omega))	Complex ((s=\sigma + j\omega))
수렴성	Requires the function to decay sufficiently	Handles growing exponentials via the real part (\sigma)
과도 현상	Poor (assumes periodic/steady‑state)	Excellent (includes initial conditions)
인과 시스템	Typically bilateral	Unilateral ((t\ge 0)) – perfect for real physical systems

The Fourier transform is a special case of the Laplace transform evaluated on the imaginary axis.

일반 라플라스 변환 쌍

시간 함수 (f(t))	라플라스 변환 (F(s))
(1) (단위 계단)	(\displaystyle \frac{1}{s})
(t)	(\displaystyle \frac{1}{s^{2}})
(e^{-at})	(\displaystyle \frac{1}{s+a})
(\sin(\omega t))	(\displaystyle \frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}})
(\cos(\omega t))	(\displaystyle \frac{s}{s^{2}+\omega^{2}})
(e^{-at}\sin(\omega t))	(\displaystyle \frac{\omega}{(s+a)^{2}+\omega^{2}})