달과 수학: 평온의 바다

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Chapter 1 – The Sea of Tranquility

이 장은 달 탐사와 “Moon Maths” 를 다루며, 이는 영지식증명(ZKPs)의 기반이 됩니다. 아폴로 11 착륙지점에서 시작해 달을 한 바퀴 도는 여정을 통해 각 장마다 새로운 수학 분야를 소개합니다.

• The Moon Math Manual – [download link] – 우리가 논의할 수학에 대한 안내서(여행 중에 시도할 수 있는 연습문제 포함).
• Music – 적절한 사운드트랙은 브라이언 에노의 Apollo Atmospheres and Soundtracks 입니다.

Charts & Companions

NASA는 우리 탐색을 돕기 위해 많은 차트를 공개했습니다. 우리의 동료는 Peggy와 Victor입니다:

• Victor는 회의적인 인물로, Peggy가 잘못된 증명으로 자신을 속일까 걱정합니다.

우리는 출발할 준비가 되었지만, 어디로 갈까요?

우리의 여정은 잘 알려진 Sea of Tranquility의 풍경에서 시작해 달의 어두운 면까지, 기본 수학에서 타원곡선 및 ZKP 시스템에 사용되는 과정까지 이어집니다.

Itinerary

The Conflict: Verification vs. Privacy

은행은 프라이버시를 강조합니다: 당신의 세부 정보는 비공개이지만 거래는 검증되지 않으므로 은행을 신뢰해야 합니다.

영지식증명은 이 갈등을 해결합니다: **검증 가능성(수학적 증명)**과 **프라이버시(검증자는 새로운 정보를 알지 못함)**를 동시에 얻을 수 있습니다.

Analogies

• 우리의 달 탐험이 2001: A Space Odyssey에서처럼 외계 유물을 비밀리에 찾는 여정이라고 상상해 보세요.
• 물리적으로 정보를 가리는 것은 디지털 자산에 쓸모가 없습니다; 우리는 정보를 숨기면서도 검증을 가능하게 하는 수학적 구조가 필요합니다.

이번 첫 장의 목표는 잘 알려진 환경, 즉 **Sea of Tranquility (Mare Tranquillitatis)**에서 배경을 확립하는 것입니다.

Setting the Scene

• 오른쪽: 동쪽에서 해가 떠오르고 있습니다.
• 지면: 회색이고 평평한 레골리스—파편화된 암석과 숯빛 회색 가루가 바위층을 덮고 있으며, 운석 충돌로 형성되었습니다. 입자는 날카로워 장비를 손상시킬 수 있습니다.
• 수평선: 몇 킬로미터 정도로 가까워 보이지만 달이 작기 때문에 급격히 휘어 있습니다.

달의 수평선이 착시를 일으키듯, 증명의 영역도 우리 시야를 흐릴 수 있습니다. 우리는 명확한 규칙이 필요합니다.

Source: …

ZKP란 무엇인가?

제로‑지식 증명 시스템은 세 가지 속성을 만족해야 합니다:

1. 완전성 (Completeness) – 페기(Peggy)가 정직하고 그녀가 증명하는 명제가 참이면, 수학은 언제나 성립하고 빅터(Victor)는 항상 그녀의 증명을 받아들입니다.
2. 음성성 (Soundness) – 명제가 거짓이면, 페기는 속일 수 없습니다. 빅터를 속일 확률은 무시할 만큼 작습니다.
3. 제로‑지식 (Zero‑Knowledge) – 명제가 참일 경우, 빅터는 그 외의 어떠한 정보도 얻지 못합니다; 그는 증명을 역공학하여 비밀을 알아낼 수 없습니다.

용어 정리

우리는 정수와 모듈러 연산(종종 시계 수학이라 불리는)에 초점을 맞출 것입니다.

• **동치(congruence)**는 같은 모듈러로 나눴을 때 같은 나머지를 갖는 정수들을 묶는 개념입니다.
  • 예시: $13 \equiv 17 \equiv 21 \pmod{4}$ 은 각각 나머지가 1이기 때문입니다.

더 많은 연산은 제3장(폭풍의 바다)에서 필드를 공부할 때 다룰 예정입니다.

지형 특징

• 아펜니노 산맥 – 평온의 바다(Sea of Tranquility)를 떠날 때 왼쪽에 솟아 있습니다.
• 플리니우스 분화구(Crater Plinius) – 중앙에 피크가 있는 43 km 폭의 날카로운 분화구로, 근처에 파수꾼처럼 서 있습니다.

우리는 익숙한 것을 뒤로하고 미지의 세계로 나아가고 있으므로, 더 많은 용어와 개념이 필요합니다.

핵심 개념

• 증인(witness) – 페기가 알고 있는 비밀 데이터이며, 빅터에게 그 비밀을 공개하지 않고 자신이 알고 있음을 증명하고자 합니다.
• 비대칭성(asymmetry) – 우리가 여러 차례 다시 다룰 기본적인 암호학 개념입니다.

두 단계 비유

1. 외계 유물 찾기(증인) – 어렵고, 차량·연료·시간·운이 필요하며, 계산적으로 비용이 많이 듭니다.
2. 사진 확인하기(명제) – 쉽고, 순식간에 할 수 있습니다.

문제를 푸는 것이 쉽다면, 우리는 증명이 필요 없고 직접 문제를 풀면 됩니다.

따라서 ZKP 시스템은 **간결함(succinct)**을 목표로 합니다: 증명은 다루기 충분히 작아야 하고, 검증은 합리적으로 빨라야 합니다.

지형을 가로지르며

우리는 아펜니노 산맥을 차로 넘을 수 없으므로 해들리‑아펜니노 협곡(Hadley‑Apennine Gap)(아폴로 15 착륙지점)를 통과해야 합니다. 산이 습지인 Palus Putridi (“부패의 늪”)와 만나는 이 좁은 복도는 우리의 다음 경유지가 될 것입니다.

에디니스 (부패의 늪)

우리 바로 왼쪽에는 Hadley Rille이라 불리는 거대한 구불구불한 협곡이 있고, 오른쪽에는 우뚝 솟은 Mount Hadley가 있습니다.

아직 Apennines를 오르지는 않을 것입니다—그 도전은 Chapter 4에 남겨두고, 그때 Abstract Algebra의 무거운 작업을 다룰 예정입니다.

여정은 계속된다

산을 지나면 세상이 열리고 우리는 Sea of Rains에 들어갑니다. 우리는 멀리 보이는 세 개의 거대한 분화구를 기준으로 항해합니다:

• Archimedes
• Autolycus
• Aristillus

북서쪽으로 이동하면 terminator line에 도달하게 되는데, 이는 낮과 밤의 경계를 표시합니다.

빛과 어둠 사이의 이렇게 뚜렷한 구분이 우리가 증명에서 원하는 바로 그 형태입니다: 유효한 증명과 무효한 증명을 명확하고 쉽게 테스트할 수 있는 정확한 경계선.

그 뒤에 숨은 수학

기본 수학에서는 이를 probability를 통해 구현합니다. 이론적으로는 probabilistic하지만, 거짓 증명이 받아들여질 확률은 이 사막에서 특정 모래알 하나를 맞추는 것처럼 극히 미미하여 실질적으로는 날카롭고 견고한 장벽과 같습니다.

그림자는 점점 길어지고 있습니다. 수학은 곧 더 가파르게 변할 것입니다.

Sinus Iridum – 여기서 우리는 모든 비밀이 다항식 곡선 위의 한 점에 불과하다는 것을 배우게 됩니다.

추가 자료

Zero‑Knowledge Proofs (ZKPs)와 그 뒤에 있는 수학에 대해 더 알고 싶다면, 저희 Academy를 방문하세요.

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