순수 수학에서 암호화까지: G. H. Hardy가 어떻게 우연히 현대 암호학을 움직였는가

Source: Dev.to

서론

G. H. Hardy가 자신의 순수 수학 연구는 실제로는 절대 쓸모가 없다고 자랑스럽게 말했을 때, 그는 큰 착각을 하고 있었습니다. 그의 사망 후 50년이 넘는 시간이 흐른 지금, WhatsApp 메시지를 보호하고, 온라인 은행 거래를 안전하게 하며, 전 세계 디지털 통신을 유지하는 시스템 모두가 그가 발전시킨 수학적 아이디어에 의존하고 있습니다. 아이러니하게도, 그가 “아름답지만 쓸모없다”라고 부른 수학이 바로 현대 암호학의 핵심이 되었습니다. 이 글은 20세기 초 Hardy의 정수론 이론과 오늘날 우리 디지털 세계를 보호하는 암호화 스키마 사이의 뜻밖의 다리를 살펴봅니다.

🔑 Hardy의 세계: 실용성이 아닌 아름다움을 위한 순수 수학

Hardy는 순수 수학을 강력히 옹호했습니다—그는 응용이 아니라 아름다움을 위해 수학을 추구했습니다. 그는 다음 분야에서 폭넓게 활동했습니다:

• 소수 이론
• 수론 해석 (analytic number theory)
• 점근식

Ramanujan 및 Littlewood와의 협업

그 당시 이 분야들은 지적으로 풍부하지만 실용적 가치는 없다고 여겨졌습니다. 오늘날, 바로 이 분야가 암호학의 핵심이 되고 있습니다.

1️⃣ 소수 이론 → RSA 및 공개키 암호화

Hardy와 Littlewood가 만든 연구는 소수의 분포에 대한 깊은 이해를 제공했습니다. 이는 오늘날 거의 모든 공개키 암호 시스템—RSA, Diffie–Hellman, 그리고 elliptic‑curve cryptography (ECC) 등—이 다음에 의존하기 때문에 매우 중요합니다:

• 큰 소수의 존재
• 특정 구간 내 소수의 밀도
• 큰 합성수의 소인수분해 어려움

예를 들어 RSA는 두 개의 큰 소수를 선택하고 이를 곱합니다. 보안은 그 곱을 다시 두 개의 원래 소수로 분해하는 것이 어렵다는 사실에서 비롯되며, 이는 소수 이론을 통해 이해됩니다.

2️⃣ 수론 해석 → 암호학에서 “어려운 문제”의 기반

Hardy는 analytic number theory의 선구자 중 한 명으로, 정수를 연구하기 위해 해석학적 방법을 사용했습니다. 이 분야는 현대 암호학의 많은 보안 가정의 토대가 됩니다, 예를 들어:

• 소수의 분포
• 모듈러 산술 구조
• 이산 로그 문제의 어려움
• 함수의 무작위성 특성

수론 해석은 암호 알고리즘이 서 있는 “수학적 장”을 제공합니다.

3️⃣ Hardy–Ramanujan 점근법 → 알고리즘 복잡도 분석

Hardy와 Ramanujan은 함수 성장률을 추정하는 정교한 방법을 개발했으며, 이는 현재 알고리즘 복잡도 분석과 연결됩니다. 그 접근법은 다음에 중요합니다:

• 암호 알고리즘 성능 평가
• 안전한 키 길이 결정
• 무차별 대입 공격에 대한 저항성 추정
• 해시 및 의사난수 생성기 분석

그들의 기법은 디지털 보안을 수학적으로 이해하는 방식을 형성합니다.

🔥 가장 큰 아이러니: Hardy가 “쓸모없다”고 여긴 수학이 사이버 세계의 기반이 됨

Hardy는 A Mathematician’s Apology에서 이렇게 적었습니다:

“나는 ‘쓸모 있는’ 일을 한 적이 없습니다. 내 발견이 직접적이든 간접적이든 세상의 편안함에 차이를 만들거나 만들 가능성은 없습니다.”

아이러니하게도 그는 다음과 같은 응용을 상상조차 하지 못했습니다:

• 온라인 뱅킹
• 암호화된 통신
• 디지털 서명
• 블록체인
• 인터넷 쇼핑
• 국방 및 국가 안보를 위한 암호화
• 위성 통신

모두가 그가 열정을 가지고 발전시킨 정수론에 의존합니다.

🎯 결론

G. H. Hardy는 암호학을 전혀 상상하지 못했습니다. 그러나 그의 순수하고 우아하며 의도적으로 실용적이지 않게 만든 수학적 작업이 현대 디지털 세계의 보안을 지탱하는 기반이 되었습니다. 매일 수십억 개의 암호화된 메시지가 전송되는 시대에, Hardy의 유산은 더욱 살아 숨쉬고 있습니다. 그의 “쓸모 없는” 수학은 이제 가장 유용한 수학 중 하나가 되었습니다.