순수 수학에서 암호화까지: G. H. Hardy가 어떻게 우연히 현대 암호학을 움직였는가

Source: Dev.to

🔑 하디의 세계: 아름다움을 위한 순수 수학, 실용성을 위한 것이 아니다

하디는 순수 수학의 강력한 옹호자였다—그 아름다움 때문에 추구되는 학문이며, 그 적용을 위한 것이 아니다. 그는 다음 분야에서 폭넓게 연구했다:

• 소수 이론
• 수론 해석 (analytic number theory)
• 점근식

라마누잔 및 리틀우드와의 협업

그 시대에 이 분야들은 지적으로 풍부하지만 실용적인 이점이 없다고 여겨졌다. 오늘날, 같은 분야가 바로 암호학의 핵심이 되고 있다.

1️⃣ 소수 이론 → RSA 및 공개키 암호화

하디와 리틀우드의 연구는 소수의 분포에 대한 깊은 이해를 제공한다. 이는 오늘날 거의 모든 공개키 암호 시스템—RSA, Diffie–Hellman, 그리고 타원곡선 암호(ECC)—이 다음에 의존하기 때문에 매우 중요하다:

• 큰 소수의 존재
• 특정 구간 내 소수의 밀도
• 큰 합성수의 소인수분해 난이도

예를 들어 RSA는 두 개의 큰 소수를 선택하고 곱한다. 보안은 그 곱을 다시 두 개의 원래 소수로 분해하는 것이 어렵다는 사실에서 비롯되며, 이는 수론을 통해 이해된다.

2️⃣ 수론 해석 → 암호학에서 “어려운 문제”의 기반

하디는 수론 해석의 선구자 중 한 명으로, 정수를 연구하기 위해 해석학적 방법을 사용했다. 이 분야는 현대 암호학의 많은 보안 가정의 토대가 된다, 예를 들면:

• 소수의 분포
• 모듈러 산술 구조
• 이산 로그 문제의 난이도
• 함수의 난수성

수론 해석은 암호 알고리즘이 서 있는 “수학적 장”을 제공한다.

3️⃣ 하디–라마누잔 점근법 → 알고리즘 복잡도 분석

하디와 라마누잔은 함수 성장률을 추정하는 정교한 방법을 개발했으며, 이는 현재 알고리즘 복잡도 분석과 연결된다. 이 접근법은 다음에 중요하다:

• 암호 알고리즘 성능 평가
• 안전한 키 길이 결정
• 무차별 대입(brute‑force) 저항성 추정
• 해시와 의사난수 생성기 분석

그들의 기술은 디지털 보안을 수학적으로 이해하는 방식을 형성한다.

🔥 가장 큰 아이러니: “쓸모 없는” 하디의 수학이 사이버 세계의 기반이 됨

하디는 A Mathematician’s Apology에서 이렇게 썼다:

“나는 결코 ‘쓸모 있는’ 일을 하지 않았다. 내 발견이 직접적이든 간접적이든 세상의 편안함에 차이를 만들거나 만들 가능성은 전혀 없었다.”

아이러니하게도 그는 다음과 같은 응용을 상상하지 못했다:

• 온라인 뱅킹
• 암호화된 통신
• 디지털 서명
• 블록체인
• 인터넷 쇼핑
• 국방 및 국가 안보를 위한 암호화
• 위성 통신

모두가 그가 열정을 쏟아 개발한 수론에 의존한다.

🎯 결론

G. H. Hardy는 암호학을 전혀 상상하지 못했다. 그러나 그의 순수하고 우아하며 의도적으로 실용적이지 않게 만든 수학은 현대 디지털 세계의 보안을 지탱하는 기반이 되었다. 매일 수십억 개의 암호화된 메시지가 전송되는 시대에, 하디의 유산은 더욱 살아 숨쉬고 있다. 그의 “쓸모 없는” 수학은 이제 가장 유용한 수학 중 하나가 되었다.