알렉산더 그로텐디크, 20세기 수학을 혁신했다
출처: Hacker News
그로텐디크는 수학계에서 존경받는 인물이다; 그 밖에서는 그의 독특한 삶으로 알려져 있거나, 거의 알려지지 않는다. 하지만 그의 실제 수학적 기여는 무엇이었을까?
Mercedes deBellard, Quanta Magazine 제공
소개
알베르트 아인슈타인이 20세기 물리학에 끼친 영향이 그랬다면, 알렉산더 그로텐디크는 20세기 수학에 끼친 영향이었다. 물리학보다 수학이 더 빨리 기술적으로 복잡해지기 때문에 그는 훨씬 덜 알려져 있다. 그러나 아인슈타인과 마찬가지로, 그로텐디크의 영향력은 그의 혁명적인 결과물 자체뿐만 아니라, 그의 작업이 전체 학문을 급진적인 새로운 방향으로 재편했기 때문이다.
그로텐디크는 어린 시절부터 강렬하고 금욕적이었다. 1950년대 초, 20대에 접어들던 시기에 그는 수학의 흐름을 바꾼 수천 페이지에 달하는 형식적인 메모와 비공식적인 메모를 남겼다. 그리고 1970년, 그는 파리 외곽의 명문 연구소 직책을 그만두고, 학부 시절을 보낸 지방 대학인 몽펠리에로 옮겨 강의했다. 이후 다른 수학자들과 거의 말을 하지 않았다. 1990년대 초, 그는 피레네 산맥의 작은 마을로 이주해 은둔 생활을 시작했다.
수학자들은 아직도 반세기 전 그가 만든 혁신을 소화하고 있다. 그의 작업은 객체 자체보다 객체들 사이의 관계에 초점을 맞춤으로써 수학을 새로운 수준의 추상성으로 끌어올렸다. 그는 회고록에서 “수학에서 나를 다른 어떤 것보다도 더 매혹시키는 것은 ‘숫자’도 ‘크기’도 아니라 언제나 ‘형태’이다”라고 썼다1. “형태가 우리에게 모습을 드러내는 수천 가지 얼굴 중, 나를 가장 사로잡고 계속해서 매료시키는 것은 수학적 사물 안에 숨겨진 구조다.”
그의 혁명적인 수학은 바로 그 숨겨진 구조를 찾는 데 중심을 두었다.
형태 드러내기
그로텐디크는 대수기하학 분야에서 가장 유명하다. 이 분야는 처음에 다항식 방정식으로 정의되는 형태를 연구하는 학문으로 시작되었다—즉, 고정된 차수로 거듭 제곱된 변수들을 더한 식이다. 가장 단순한 예는 직선 (x – y = 0)이나 원 (x² + y² – 1 = 0)이다. 그러나 변수가 많아지고 차수가 높아지며, 하나의 방정식이 아니라 여러 방정식의 해를 동시에 구하려고 하면 상황은 급속히 복잡하고 추상적으로 변한다.
그로텐디크는 1954년 사진에서 볼 수 있듯이 숨겨진 기하학적 구조에 매료되었다. “수학에서 나를 다른 어떤 것보다도 더 매혹시키는 것은 ‘숫자’도 ‘크기’도 아니라 언제나 ‘형태’이다”라고 그는 적었다.
대수기하학은 19세기 말, 수학자들이 방정식에 일반적인 실수 대신 더 추상적인 수 체계를 대입하면 어떻게 되는지를 탐구하기 시작하면서 비약적으로 성장했다.
그로텐디크 이전에 대수기하학은 흥미롭고 활기찬 하위 분야였지만, 동시에 위기에 직면해 있었다. 수학자 데이비드 먼퍼드가 나중에 쓴 바 있듯이, “모든 연구자는 자신만의 정의와 용어를 사용했으며, 이 분야의 ‘기초’는 최소 여섯 가지 서로 다른 수학적 ‘언어’로 기술되고 있었다.”
그때 “그로텐디크가 등장해 혼란스러운 연구자들의 세계를 뒤집어 놓고, 새로운 용어와 방대한 양의 새롭고 흥미로운 결과들로 압도했다.”
그는 오래된 추측들을 증명하는 데 도움이 되는 수학적 구성을 도입했으며, 결국 이 구성 자체가 독립적인 연구 대상이 되었다.
그의 작업은 대수기하학을 위상수학, 정수론, 표현론, 논리학 등 다양한 분야와 연결하는 중심축으로 만들었다. 스탠포드 대학의 브라이언 콘래드가 “그로텐디크는 직접 정수론을 연구하지는 않았지만, 그가 대수기하학에 도입한 아이디어가 정수론을 수행하는 방식을 완전히 바꾸어 놓았다”고 설명한다.
그의 첫 번째 주요 성과는 1957년 리만-로흐 정리를 일반화한 것이었다. 이 정리는 한 면의 형태가 그 위에 정의될 수 있는 함수들을 어떻게 제한하는지를 규정한다. 프랑스 국립과학연구센터의 레일라 슈네프는 “그로텐디크의 증명은 그를 수학계의 즉각적인 스타로 만들었다”고 적었다.
콘래드는 “그의 기법 덕분에 ‘전혀 새로운 연산들의 풍부함이 열렸다’며 ‘정리가 왜 참인지에 대한 완전히 새로운 사고 방식을 제공한다’고 말했다.”
그 직후, 그로텐디크는 또 다른 과제로 나아갔다. 1958년 국제수학자대회에서 그는 대수기하학 전체를 재구성하겠다는 의지를 발표했다. 그는 이를 ‘스킴(scheme)’이라는 개념으로 실현하려고 했다.
수학의 새로운 스킴
10년 전, 수학자 앙드레 와일은 두 가지 매우 다른 수학적 환경에서 정의된 다항식 방정식의 해 사이에 연결고리가 존재한다는 가설을 제시했다. 첫 번째 환경은 유한체였으며, 이는 순환적인 산술 규칙을 따르는 수 체계다. 두 번째는 복소수였으며, 이는 일상적인 실수에 허수 단위 i를 더한 것이다.
와일은 한 환경의 다항식과 다른 환경의 다항식을 연결하는 네 가지 가설을 제시했으며, 콘래드는 이를 “평행 우주 간의 소통처럼 들린다”고 평가했다.
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